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第一讲                循环小数与分数
第二讲                和差倍分问题
第三讲                行程问题
第五讲                质数与合数
第六讲                工程问题
第七讲                牛吃草问题
第八讲                包含与排除
第九讲                整数的拆分
第十讲                逻辑推理
第十一讲              通分与裂项
第十二讲              几何综合
第十三讲              植树问题
第十五讲              余数问题
第十六讲              直线面积
第十七讲              圆与扇形
第十八讲              数列与数表综合
第十九讲              数字迷综合
第二十讲              计数综合
第二十一讲            行程与工程
第二十二讲            复杂工程问题
第二十三讲            运用比例求解行程问题
第二十四讲            应用题综合
第二十五讲            数论综合2
第二十六讲            进位制问题
第二十七讲            取整问题
第二十八讲            数论综合3
第二十九讲            数论综合4
第三十讲              几何综合2
第三十一讲            图形变换
第三十二讲            勾股定理
第三十三讲            计数综合
第三十四讲            最值问题
第三十五讲            构造与论证1
第三十六讲            构造与论证2



第一讲   循环小数与分数


    循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.




    1.真分数化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么是多少?
   【分析与解】 =0., =0.,=0.,=0.,=0., =0. .
    因此,真分数化为小数后,从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27,   
    又因为1992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以=0.,即=6.
    评注:的特殊性,循环节中数字不变,且顺序不变,只是开始循环的这个数有所变化.



    2.某学生将乘以一个数时,把误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
  【分析与解】  由题意得: -1.23=0.3,即:=0.3,所以有:.解得= 90,所以=× 90=1×90=× 90=111.


3.计算:,结果保留三位小数.
【分析与解】 方法一:
                       ≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666
                       = 0.7359
                       ≈0.736
方法二:
      
           ≈0.736


4.计算:
【分析与解】  方法一:
=
=  
=
=2.4
方法二:
           =()
           =2.1+×(1+2+3+4+8+9)
           =2.1+×27
           =2.1+0.3
           =2.4

方法三:如下式,
        0.011111…
        0.122222...
        0.233333...
        0.344444...(1+2+3+4+8+9=27)
        0.788888...
+   0.899999...
        2.399997...
注意到,百万分位的7是因为没有进位造成,而实际情况应该是2.399999…==2.4.
评注:==1 ,=.


5.将循环小数与相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?
【分析与解】  ×=
循环节有6位,100÷6=16……4,因此第100位小数是循环节中的第4位8,第10l位是5.这样四舍五入后第100位为9.


6. 将下列分数约成最简分数:
【分析与解】  找规律:,, ,,…所以=
评注:类似问题还有.


7. 将下列算式的计算结果写成带分数:
【分析与解】==×59=59-=58


8.计算:7÷÷1
【分析与解】 7÷÷1
                =
                =
                =
                =5

     9.计算:
【分析与解】原式
                    
                    
                    
                    
                    
                    
                    


10.计算:
【分析与解】 原式=
                 =
                 =9+5.5-4.5
                 =10
11.计算: 41.2×8.1+11×+537×0.19
【分析与解】  原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125)
                  =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125
                  =412+11×8+11×1.25+19×1.25
                  =412+88+1.25×30
                  =500+37.5
                  =537.5

12.计算:
【分析与解】原式=
                =


13.计算:
【分析与解】  原式=

14. (1)已知等式0.126×79+12×□-6÷25=10.08,那么口所代表的数是多少?   
(2)设上题答案为.在算式(1993.81+)×○的○内,填入一个适当的一位自然数,使乘积的个位数字达到最小值.问○内所填的数字是多少?
    【分析与解】  (1)设口所代表的数是,0.126×79+12-6÷25=10.08,解得:=0.03,即口所代表的数是0.03.
(2)设○内所填的数字是,(1993.81+O.03)×=1993.84×,有当为8时1993.84×=1993.84
×8=15050.94,所以○内所填的数字是8.

15.求下述算式计算结果的整数部分:
【分析与解】原式=
                ≈192.5+128.3+77+55+35+29.6
                =517.4
所以原式的整数部分是517.


第二讲  和差倍分问题


    各种具有和差倍分关系的综合应用题,重点是包含分数的问题.基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形,并结合起来进行比较而求出相关的量,其中要注意单位“1”的恰当选取.



1.有甲、乙两个数,如果把甲数的小数点向左移两位,就是乙数的,那么甲数是乙数的多少倍?
    【分析与解】  甲数的小数点向左移动两位,则甲数缩小到原来的,设这时的甲数为“1”,则乙数为1×8=8,那么原来的甲数=l×100=100,则甲数是乙数的100÷8=12.5倍.


2. 有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑、白两色棋子.已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,第三堆里的黑子占全部黑子的.如果把这三堆棋子集中在一起,那么白子占全部棋子的几分之几?
    【分析与解】  如下表所示:

    设全部黑子为“5”份,则第三堆里的黑子为“2”份,那么剩下的黑子占5-2=“3”份,而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,将第一堆黑子和第二堆白子调换,则第二堆全部为黑子.
    所以第二堆棋子总数为“3”份,三堆棋子总数为3×3=“9”份,其中黑子占“5”份,则白子占剩下的9-5=“4”份,那么白子占全部棋子的4÷9=.


3.甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务,已知甲厂比乙厂少生产8台机床,并且甲厂的生产量是乙厂的,那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?
    【分析与解】  因为甲厂生产的是乙厂的,也就是甲厂为12份,乙厂为13份,那么甲厂比乙厂少1份=8台.总共=8×(12+13)=200台.


4.足球赛门票15元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,那么一张门票降价多少元?
    【分析与解】设原来人数为“1”,则现在有1+0.5=1.5.
    原来收入为l×15=15,降价后收人为15×(1+)=18元,那么降价后门票为18÷1.5=12元,则一张门票降价15-12=3元.


5.李刚给军属王奶奶运蜂窝煤,第一次运了全部的,第二次运了50块.这时,已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来?
    【分析与解】  已经运来的是没有运来的,则运来的是5份,没有运来的是7份,也就是运来的占总数的.则共有50÷(-)=1200块,还剩下1200×=700块.


6.有两条纸带,一条长21厘米,一条长13厘米,把两条纸带都剪下同样长的一段以后,发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的.问剪下的一段长多少厘米?
【分析与解】方法一:开始时,两条纸带的长度差为21-13=8厘米.
因为两条纸带都剪去同样长度,所以两条纸带前后的长度差不变.
    设剪后短纸带长度为“8”份,长纸带即为“13”份,那么它们的差为13-8=5份,则每份为8÷5=1.6(厘米).
    所以,剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米),于是剪去13-12.8=O.2(厘米).
    方法二:设剪下厘米,
    则,交叉相乘得:13×(13-)=8×(21-),解得=0.2,
    即剪下的一段长0.2厘米.


7.为挖通300米长的隧道,甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工.第一天甲、乙两队各掘进了10米,从第二天起,甲队每天的工作效率总是前一天的2倍,乙队每天的工作效率总是前一天的l倍.那么,两队挖通这条隧道需要多少天?
  【分析与解】  如下表所示:
  
          天数
工作量                1        2        3        4        5
甲        10        20        40        80        160
乙        10        15        22.5        33.75        50.625
当天工作量        20        35        62.5        113.75        210.625
已完成工作量        20        55        117.5        231.25        441.375

说明在第五天没有全天干活,则第四天干完以后剩下:300-231.25=68.75米,
那么共用时间为4+68.75÷210.625=4天.

8.有一块菜地和一块麦地.菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷.麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷.那么菜地是多少公顷?
【分析与解】如下表所示:

菜地        麦地        13公顷
菜地3        麦地2        78公顷
菜地2        麦地3        72公顷
菜地        麦地        12公顷

     即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150,所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷).
     而菜地减去麦地,为78-72=6(公顷),所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷).


9.春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵.植树开始后,当栽种了杨树总数的和30棵柳树以后,又临时运来15棵槐树,这时剩下的3种树的棵数恰好相等.问原计划要栽植这三种树各多少棵?
    【分析与解】将杨树分为5份,以这样的一份为一个单位,则:
    杨树=5份;柳树=2份+30棵;槐树=2份-15棵,
    则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵,
    有:杨树=5×165=825棵;柳树=165×2+30=360棵;槐树=165×2-15=315棵.


10. 师徒二人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个.那么,徒弟一共加工了多少个零件?
    【分析与解】  我们用“师”表示师傅加工的零件个数,“徒”表示徒弟加工的零件个数,有:
“师”- “徒”=10,4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680.
那么有7“徒”=680-120=560,“徒”=80,徒弟一共加工了80个零件.
11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的1倍.上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍,下午这批工人中有的人去甲工地,其他人到乙工地.到傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需4名工人再做1天.那么这批工人共有多少名?
【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”,则乙工地的工作量为“1”.

        甲        乙
上午               
下午                1-=

    于是甲工地一整天平均用了这批工人的,乙工地一整天平均用了这批工人的1-.
    这批工人的完成了“1.5”的工作量,那么的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量,于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量,这“0.25”的工作量需要4人工作1天.
    而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5,那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天.
    所以原来这批工人共有40-4=36人.


12.有一个分数,如果分子加1,这个分数就等于;如果分母加1,这个分数就等于.问原来的分数是多少?
    【分析与解】  如果分子加1,则分数为,设这时的分数为:,则原来的分数为,分母加1后为:,交叉相乘得:3(-1)=2+1,解得=4,则原分数为.


13.图2-1是某市的园林规划图,其中草地占正方形的,竹林占圆形的,正方形和圆形的公共部分是水池.已知竹林的面积比草地的面积大450平方米.问水池的面积是多少平方米?

    【分析与解】  因为水池是正方形的,是圆的,则正方形是水池的4倍,圆是水池的7倍,相差7-4=3倍,差450平方米,则水池=450÷3=150平方米.


14.唐僧师徒四人吃了许多馒头,唐僧和猪八戒共吃了总数的,唐僧和沙僧共吃了总数的,唐僧和孙悟空共吃了总数的.那么唐僧吃了总数的几分之几?
    【分析与解】  唐+猪=、唐+沙=、唐+孙=.(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=++=1.则:2唐=,唐=.
    唐僧吃了总数的.


15.小李和小张同时开始制作同一种零件,每人每分钟能制作1个零件,但小李每制作3个零件要休息1分钟,小张每制作4个零件要休息1.5分钟.现在他们要共同完成制作300个零件的任务,需要多少分钟?
    【分析与解】方法一:先估算出大致所需时间,然后再进行调整.
     因为小李、小张的工作效率大致相等,那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右;
小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟;
    在200分钟左右,198分钟是5.5的整数倍,此时乙生产198÷5.5×4=144个零件,并且刚休息完,所以在2分钟后,即200分钟时完成144+2=146个零件;
    那么在200分钟时,小李、小张共生产150+146=296个零件,还剩下4个零件未完成,所以再需2分钟,小李生产2个零件,小张生产2个零件,正好完成.
    所以共需202分钟才能完成.
方法二:把休息时间包括进去,小李每4分钟做3个,小张每5.5分钟做4个.
    则在44分钟内小李做了:44÷4×3=33个,小张做了:44÷5.5×4=32个,他们一共做了:33+32=65个.
    300÷65=4……40,也就是他们共同做了4个44分钟即:44×4=176分钟后,还剩下40个零件没有做完.
    而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4,所以22分钟内小李做了:3+3+3+3+3+2=17个,小张做了:4×2=16个,那么还剩下:40-17-16=7个,4分钟内小李做3个,小张做4个,共做4+3=7个,即这40个零件还需要26分钟.
    所以共用时间:44×4+26=202分钟.








































第三讲  行程问题(1)


涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系,以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用,有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑.


1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?
    【分析与解】  设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间,现在从甲到乙花费了时间1÷55=千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是.
即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开.



2. 甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?
【分析与解】  汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟.
    而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟,即2最小时.
以下给出两种解法:
方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时,有50×+40×,解得.
    所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时.
    方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.
依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了的路程,即行驶了100千米的路程,距出发小时.


3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?
    【分析与解】  我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速.
    有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒.
    则无风速度==米/秒
所以无风的时候跑100米,需100÷8=12.5秒.


4. 一条小河流过A,B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?
【分析与解】  如下画出示意图,







有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,
有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时.
而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时.
设AB长千米,有,解得=25.
所以A,B两镇间的距离是25千米.



5.一条大河有A,B两个港口,水由A流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A向B行驶,各自不停地在A,B之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B两个港口之间的距离.

    【分析与解】  设AB两地的路程为单位“1”,则:
    甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2;
    甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2;
    甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2-1);
    甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2-1).
    有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时,
    乙船的顺水速度为24千米/小时,逆水速度为16千米/小时.
    两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”;甲船第二次追上乙船时,它们的路程差为“4”.
    (一)第二次迎面相遇时,一定是甲走了2~3个AB长度,乙走了2~1个AB长度,设甲走了2+个AB的长度,则乙走了2-个AB的长度,有

  



=,解得,即第二次迎面相遇的地点距A点AB的距离.

(二)①第二次甲追上乙时,有甲行走(为整数,≤1)个AB的长度,则乙行走了个AB的长度,有
=,化简得,显然无法满足为整数,≤1;













  

②第二次甲追上乙时,有甲行走(y为整数,≤1)个AB的长度,则乙行走了个AB的长度,有
=,化简有,有,.
    即第二次甲追上乙时的地点距B点AB的距离,那么距A也是AB的距离.
    所以,题中两次相遇点的距离为(AB,为40千米,所以AB全长为240千米.
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